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Können Grundschulkinder schon einfache Beweise herleiten und verstehen wie z.B.:

Jede Summe aus drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist durch drei teilbar !

Beweisen kann man das indem man die Zahlen abstrakt beschreibt und dann umformt:

n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 die Zahl 3n + 3 ist natürlich durch 3 teilbar, was man sofort sieht.

Grundschulkinder sehen das natürlich nicht, man kann die algebraische Darstellung aber in eine anschauliche Form bringen:

n ist: … o
n+1: … o o
n+2: … o o o

Durch Umlegen des letzten Plättchens in die erste Reihe:

… o o
… o o
… o o

sieht man sofort, dass die Zahl durch 3 teilbar sein muss.

Man könnte jetzt auch untersuchen, wie das mit 4, 5, 6 , … aufeinanderfolgenden Zahlen aussieht.

4 aufeinanderfolgende Zahlen sind nämlich nicht durch 4 teilbar wie man sich sofort vorstellen kann,
wenn man das Zahlenbild-Muster in der Vorstellung umgruppiert, sondern allenfalls durch 2:

… o
… o o
… o o o
… o o o o

Bei diesem Verändern des Musters in Gedanken kommen dieselben Mechanismen zum Tragen,die wir auch nutzen, wenn wir mit Zahlen rechnen, also z.B. die Additionsaufgabe:

5 + 8

und dabei die Zahl 8 in 5 und 3 zerlegen um den Zehner voll zu machen:

5 + 5 + 3 = 10 + 3 = 13

hier spielen Muster und Strukturen eine Rolle, die sich auf konkrete strukturierte Mengenbilder beziehen:

o o o o o ‚plus‘ o o o o o o o o

denken wir als

o o o o o
o o o o o o o o also

10 + 3

Diese Denkmuster sind aber durch vielfältigen Gebrauch und durch Abstraktion, also durch die Loslösung von konkretem Material oder von konkreten Mengen, so unscharf und damit universell geworden, dass wir sie direkt auf Zahlen beziehen oder einfach nur wissen, dass das eben so ist.

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Ein Beispiel zur Einführung:
Ein Kind bekommt zum Geburtstag Fingerpuppen geschenkt: Lehrer, Kaspar, Oma sowie Hund und Krokodil. Es hat also 3 Personen und 2 Tiere, also insgesamt 5 Figuren, die es auf die 5 Finger einer Hand stecken kann … 3 + 2 = 5. Diese Rechnung kann nun konkret auf die Fingerpuppen bezogen werden, man könnte aber auch sagen hier hat jemand die Anzahl der gekauften Gebäckstücke beim Bäcker berechnet, nämlich 3 Brezeln und 2 Brötchen oder sonst irgendein Beispiel in dem die Anzahlen 2 und 3 eine Rolle spielen.

Die im Beispiel beschriebenen Zusammenfassungen (Fingerpuppen , Gebäckstücke, …) kann man bei diesen kleinen Anzahlen natürlich mit den realen, gezeichneten oder gedachten Objekten machen. Wenn man dann aber irgendwann einmal 300 Brezeln und 200 Brötchen hat, was ja für eine Bäckerei kleine Anzahlen sind, kann man nicht mehr direkt mit den Objekten operieren sondern nur noch auf der Zahlenebene, also abstrakt, losgelöst von konkreten Gegenständen.
Um Rechnen zu können braucht man Zahlen und Zahlen erhält man z.B durch Mengenbildungen und dann durch Abstraktion von konkreten Mengen mit realen Objekten. Das Zusammenfassen von Objekten, reale, ikonische oder gedachte, wird als Mengenbildung beschrieben. Es muss klar sein, welche Objekte zu der Auswahl gehören und die einzelnen Objekte müssen unterscheidbar sein, da man sonst die Menge nicht genau abzählen könnte. Die Zahlen sind zunächst noch an die Objekte der Menge gebunden ( 3 Brezeln, 2 Tiere, 5 Bonbons, …) und werden dann aber davon gelöst, also abstrahiert. Man gebraucht dann eben nur noch die reine Anzahleigenschaft losgelöst von den Objekten, die dann wieder durch beliebige Objekte veranschaulicht werden kann.
Die Bestimmung der Anzahl von Objekten einer Menge kann durch Abzählen oder auch durch direktes Abschätzen (Subitizing) durchgeführt werden (siehe z.B.: Dehaene 1999, Der Zahlensinn). Dehaene geht ja von einem angeborenen Zahlensinn aus, auch bei Tieren, der dazu führt dass Objektanzahlen bis 3 direkt erkannt werden. durch Training und Kontextwissen lässt sich diese Fähigkeit aber weiterentwickeln:
– Kinder die Würfelspiele machen erkennen sofort die Würfelfünf oder Würfelsechs, auch ohne die einzelnen Punkte abzuzählen. – Skatspieler erkennen den Wert von Spielkarten z.B. 9, 10, 8, … ohne die Einzelsymbolde zu zählen
Mengen mit mehr als 3 Objekten müssen also eine besondere Anordung haben oder man muss diese Mengen in Teilen denken. Man muss die Mengen also irgendwie strukturieren. Dieses Strukturieren kann bei realen Objekten durch ändern der Anordnung (z.B. Reihen legen) oder durch die Bildung von Teilmengen (z.B. 5er legen), die man dann mit einem Blick erfassen kann. Bei gezeichneten Objekten z.B. durch Umkreisen von Teilmengen. Diese Aktivitäten können aber auch nur mental durchgeführt werden, man denkt sich die Teilmengen oder die Strukturen und ändert sie dann nach Bedarf.
Wahrscheinlich wird man auch eine 5er Menge die nicht strukturiert ist wie das Wuerfelbild bei der Anzahlbestimmung schnell in eine Dreier- und Zweiergruppen strukturiert und so als 5 erkannt.
Fazit: Die Anzahlbestimmung von strukturierten und unstrukturierten Mengen ist sehr stark uebungsabhaengig. Uebungen dazu werden z.B. bei ‚Blitzrechnen‘ angeboten.