In der fachdidaktischen Literatur liest man, dass Addition und Subtraktion eng zusammenhängen – Subtraktion ist die Gegenoperation zur Addititon und umgekehrt. Diese Argumentation bezieht sich auf die syntaktisch mathematische Struktur der Operationen: 4 + 5 = 9 oder 5 + 4 = 9 also ist 9 – 5 = 4 und 9 – 4 = 5. Damit wird auch unterstellt, dass Kinder, die die Addition erlernt haben, automatisch auch die Subtraktion verstehen und beherrschen. Leider zeigt die tägliche Praxis, dass man davon nicht ausgehen kann.
Die Addition wird immer noch hauptsächlich als Mengenoperation (Vereinigung disjunkter Mengen) eingeführt. Dabei vereinigen die Kinder z.B. eine Menge von 4 Steckwürfeln mit einer Menge, die aus 5 Steckwürfelchen besteht. Man erhält einen Würfelturm aus 9 Steckwürfeln. Da die Kinder viele solcher Materialhandlungen durchführen und dabei jeweils Zahlen (im Beispiel 5 und 4) Mengen zugeordnet werden, lernen Kinder , dass die Zahlen der Aufgabe 5 + 4 = __ durch 2 Mengen repräsentiert werden können, eine 5er Menge und eine 4er Menge, die zunächst getrennt hergestellt und betrachtet werden müssen, also nichts miteinander zu tun haben (disjunkt sind). Erst durch die Operation Addition, in der Aufgabe durch das + Zeichen notiert, werden die beiden Mengen quasi zu einer größeren Menge, dem Ergebnis verschmolzen. Wenn Kinder diese Vorstellungen entwickeln, also die Zahlherstellung (5er Menge herstellen) verbunden mit der Vorstellung der Operation Additon mit disjunkten Mengen, sind sie zunächst, bei allen Additionsaufgaben, erfolgreich.
Dieses Wissen und diese Vorstellungen nun auf die Subtraktion als Mengenoperation übertragen funktioniert nicht und führt zum Fehlkonzept disjunkte Mengen bei der Subtraktion. Für die Repräsentation der Aufgabe 9 – 5 stellen die Kinder wie von der Addition gewohnt die 9er Menge und die 5er Menge her und tappen in die Falle. Die Subtraktion ist nämlich keine Operation mit disjukten Mengen sondern eine Teilmengenbildung – ich nehme von einer vorgegebenen Menge eine bestimmte Anzahl Elemente weg. In unserem Beispiel würden die Kinder also nur die 9er Menge legen und diese dann in eine 5er und die Restmenge strukturieren. Das Ergebnis wird hergestellt, indem man dann noch die 5er Menge wegnimmt. Eine 4er Menge bleibt übrig.
Auf den Unterricht bezogen bedeutet das, man muss die Operationen Addition und Subtraktion zunächst als völlig unterschiedliche Operationen sehen, zwischen denen, auf der Mengenebene betrachtet semantisch Welten liegen. Vermeiden kann man die obern beschriebenen Fehlvorstellungen, wenn man den Zahlherstellungsakt (Mengen legen) zunächst nur für einen Summanden durchführt und die Operation immer nur auf dieser einen Menge ausführen lässt:
Aufgabe 4 + 5 =__ : die Kinder legen zunächst die 4er Menge und interpretieren + 5 als: ‚Lege noch eine 5er Menge zu der vorhandenen 4er Menge‘.
Aufgabe 9 – 5 =__ : die Kinder legen zunächstz die 9er Menge und interpretieren – 5 als: ‚ Nehme eine 5er Menge von der vorhandenen 9er Menge weg‘.
Diese eher operative Sichtweise 4 (+5) = 9 bzw. 9 (-5) = 4 ist dann auch geeignet, den Zusammenhang zwischen Subtraktion und Addition sowohl auf syntaktischen und wie auch semantisch deutlich zu machen.

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