Ein Beispiel zur Einführung:
Ein Kind bekommt zum Geburtstag Fingerpuppen geschenkt: Lehrer, Kaspar, Oma sowie Hund und Krokodil. Es hat also 3 Personen und 2 Tiere, also insgesamt 5 Figuren, die es auf die 5 Finger einer Hand stecken kann … 3 + 2 = 5. Diese Rechnung kann nun konkret auf die Fingerpuppen bezogen werden, man könnte aber auch sagen hier hat jemand die Anzahl der gekauften Gebäckstücke beim Bäcker berechnet, nämlich 3 Brezeln und 2 Brötchen oder sonst irgendein Beispiel in dem die Anzahlen 2 und 3 eine Rolle spielen.

Die im Beispiel beschriebenen Zusammenfassungen (Fingerpuppen , Gebäckstücke, …) kann man bei diesen kleinen Anzahlen natürlich mit den realen, gezeichneten oder gedachten Objekten machen. Wenn man dann aber irgendwann einmal 300 Brezeln und 200 Brötchen hat, was ja für eine Bäckerei kleine Anzahlen sind, kann man nicht mehr direkt mit den Objekten operieren sondern nur noch auf der Zahlenebene, also abstrakt, losgelöst von konkreten Gegenständen.
Um Rechnen zu können braucht man Zahlen und Zahlen erhält man z.B durch Mengenbildungen und dann durch Abstraktion von konkreten Mengen mit realen Objekten. Das Zusammenfassen von Objekten, reale, ikonische oder gedachte, wird als Mengenbildung beschrieben. Es muss klar sein, welche Objekte zu der Auswahl gehören und die einzelnen Objekte müssen unterscheidbar sein, da man sonst die Menge nicht genau abzählen könnte. Die Zahlen sind zunächst noch an die Objekte der Menge gebunden ( 3 Brezeln, 2 Tiere, 5 Bonbons, …) und werden dann aber davon gelöst, also abstrahiert. Man gebraucht dann eben nur noch die reine Anzahleigenschaft losgelöst von den Objekten, die dann wieder durch beliebige Objekte veranschaulicht werden kann.
Die Bestimmung der Anzahl von Objekten einer Menge kann durch Abzählen oder auch durch direktes Abschätzen (Subitizing) durchgeführt werden (siehe z.B.: Dehaene 1999, Der Zahlensinn). Dehaene geht ja von einem angeborenen Zahlensinn aus, auch bei Tieren, der dazu führt dass Objektanzahlen bis 3 direkt erkannt werden. durch Training und Kontextwissen lässt sich diese Fähigkeit aber weiterentwickeln:
– Kinder die Würfelspiele machen erkennen sofort die Würfelfünf oder Würfelsechs, auch ohne die einzelnen Punkte abzuzählen. – Skatspieler erkennen den Wert von Spielkarten z.B. 9, 10, 8, … ohne die Einzelsymbolde zu zählen
Mengen mit mehr als 3 Objekten müssen also eine besondere Anordung haben oder man muss diese Mengen in Teilen denken. Man muss die Mengen also irgendwie strukturieren. Dieses Strukturieren kann bei realen Objekten durch ändern der Anordnung (z.B. Reihen legen) oder durch die Bildung von Teilmengen (z.B. 5er legen), die man dann mit einem Blick erfassen kann. Bei gezeichneten Objekten z.B. durch Umkreisen von Teilmengen. Diese Aktivitäten können aber auch nur mental durchgeführt werden, man denkt sich die Teilmengen oder die Strukturen und ändert sie dann nach Bedarf.
Wahrscheinlich wird man auch eine 5er Menge die nicht strukturiert ist wie das Wuerfelbild bei der Anzahlbestimmung schnell in eine Dreier- und Zweiergruppen strukturiert und so als 5 erkannt.
Fazit: Die Anzahlbestimmung von strukturierten und unstrukturierten Mengen ist sehr stark uebungsabhaengig. Uebungen dazu werden z.B. bei ‚Blitzrechnen‘ angeboten.

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